模块1 练习题 · 构件的静力分析

作用力与反作用力分别作用在两个不同的物体上，不能相互抵消；二力平衡公理中的两个力才作用在同一物体上。画受力图时必须区分这一点。

固定铰链限制了沿任意方向的移动，但不限制转动，故反力方向不能预先确定，用两个正交分力 Fx、Fy 表示（共 2 个未知量）。活动铰链支座只限制法向移动，只有一个未知量。

由二力平衡公理，两力必须大小相等、方向相反且作用在同一直线上；而两力的作用点已分别在 A、B 两点，故作用线只能是 AB 连线，方向可拉可压。

光滑面不计摩擦，只能阻止物体沿法向压入，故反力沿接触面的公法线指向被约束物体（压力）。若为柔索，则只能受拉，方向沿索线背离物体。

活动铰链（滚子）支座允许沿支承面方向移动，只限制垂直于支承面的移动，反力只沿法向，1 个未知量；固定铰链支座限制两个方向的移动、允许转动，反力用两个正交分力表示，2 个未知量。二者都不提供反力偶（不限制转动）。

① 确定研究对象，解除约束取分离体；② 画主动力（重力、外载荷）；③ 按约束类型画约束反力，未知力先假定方向；④ 检查核对。
检查方法：每一个力都要能指出“是哪个物体施加的”；研究对象对别的物体的作用力一律不画（那是别人的受力图）；未知力个数应与约束提供的未知量个数一致。

力多边形首尾相接后终点与起点重合，即合力为零，力系平衡。解析条件则是对应的 ΣFx=0、ΣFy=0 同时成立。

平面汇交力系只有 ΣFx=0、ΣFy=0 两个独立方程（对汇交点的力矩方程恒等于零，不是独立方程），故最多求解 2 个未知量。

F_x = 100 + 100cos120° = 100 − 50 = 50 N；
F_y = 0 + 100sin120° = 86.6 N；
F_R = √(50² + 86.6²) = 100 N；
tanθ = 86.6/50 = 1.732，θ = 60°（第一象限）。

即力系中各力在 x、y 轴上投影的代数和分别为零。解题时坐标系应尽量与未知力重合，以减少分解计算。

力沿作用线移动，大小和方向都不变，因此投影不变、对任一点之矩也不变；改变的只是作用点位置（对变形体不适用）。

力偶的合力为零，但仍对物体有转动效应，因此不能用一个力等效替换，也不能与一个力平衡，只能由力偶来平衡。

这是力偶与单个力之矩的本质区别：单个力的力矩随矩心位置改变，而力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩 F·d。

M_O(F) = ±F·d = −200 × 0.4 = −80 N·m。负号表示顺时针转向。当力臂增大时，力矩按比例增大；若力的作用线通过矩心，则力矩为零。

在同一平面内，只要力偶矩大小相等、转向相同，两个力偶就等效，与力的大小和力偶臂的长短无关。

取逆时针为正：M = ΣM_i = +20 − 35 = −15 N·m，负号表示合力偶为顺时针。力偶系平衡的条件是 ΣM_i = 0。

M = F·d，(F/2)×(2d) = F·d，力偶矩不变。这正是力偶等效性的体现：只要力偶矩不变，可任意改变力与力偶臂。

ΣFx=0、ΣFy=0、ΣM_O=0 三个独立方程，最多求解 3 个未知量。另有二力矩式和三力矩式，同样只有 3 个独立方程。

主矢等于各力的矢量和，与简化中心无关；主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，矩心改变则力臂改变，主矩随之改变。

由对称性可直接判断各承担一半。用方程验证：ΣM_A=0 → F_B×4 − 10×2 = 0 → F_B = 5 kN；ΣF_y=0 → F_A = 10 − 5 = 5 kN。

即 M = ±F·d（d 为原作用线到新作用点的垂直距离）。这是力系向一点简化、分析梁的内力与变形的理论基础。

若三矩心共线，则三个力矩方程不独立（可互相推出），无法求解 3 个未知量。二力矩式则要求两矩心连线不垂直于投影轴。

光滑面反力沿公法线指向物体，方向确定，只有大小未知；固定铰链、固定端的反力方向均未知，需用分力表示。

力偶对任一点之矩恒等于力偶矩，故在平面内移转、转动都不影响力偶对刚体的作用效果。

固定端既限制移动（两个正交反力），又限制转动（一个反力偶），共 3 个未知量。悬臂梁即典型例子。

平衡时 ΣFx=0：F_3x = −300 N；ΣFy=0：F_3y = −400 N；
F₃ = √(300²+400²) = 500 N，tanθ = 400/300 = 1.333，θ = 53.1°。

M = ±F·d，只要 F = 0 或 d = 0（力的作用线通过矩心）力矩即为零。

可能为：平衡（主矢主矩均为零）、一个力偶（主矢为零而主矩不为零）、一个合力（主矢不为零）。只有主矢不为零时才合成合力。

桁架中的杆件在忽略自重、两端铰接时即为二力杆，其内力不是拉力就是压力，这为桁架计算带来极大方便。

ΣM_A = 0：M_A − F×l = 0 → M_A = 5 × 2 = 10 kN·m，方向与力产生的顺时针力矩相反，故为逆时针。另有竖向反力 5 kN 向上。

因为力通过矩心时力臂为零、力矩为零，这些未知力就不会出现在方程中，一个方程只含一个未知量，可直接解出，避免解联立方程组，减少计算错误。

力沿作用线移动不改变它对刚体的外效应（移动和转动效果），故对刚体适用。但对变形体，力的作用点位置会影响内力分布与变形，如拉伸一根杆，力作用在端部与中部，杆内的变形与内力分布不同，因此不能随意移动。