1-1 静力学基础 重点
一、力的概念与三要素
力是物体与物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变（外效应），或使物体产生变形（内效应）。力不能脱离物体而单独存在，讲力必须指明“谁对谁的作用”。
- 大小：用牛顿（N）或千牛（kN）度量，工程上常用 kN。
- 方向：力是矢量，包含作用线的方位和指向。
- 作用点：力作用的位置。当作用范围很小时，可抽象为作用于一点的集中力；沿长度或面积分布时称为分布力（如均布载荷 q，单位 N/m）。
表示方法
力用带箭头的有向线段表示：线段长度按比例代表力的大小，箭头表示指向，起点（或终点）表示作用点，箭头所在的直线称为力的作用线。
二、静力学基本公理
| 公理 | 内容 | 推论与应用 |
|---|---|---|
| 二力平衡公理 | 作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：大小相等、方向相反、作用在同一直线上 | 推出二力构件（二力杆）：只在两点受力而平衡的构件，两力必沿两点连线 |
| 加减平衡力系公理 | 在刚体上加上或去掉任意一个平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效果 | 推出力的可传性：力沿其作用线移动，作用效果不变（仅适用于刚体） |
| 力的平行四边形公理 | 作用于同一点的两个力，可合成为一个合力，合力的大小与方向由两力为邻边构成的平行四边形的对角线确定 | 推出三力平衡汇交定理：刚体受三个不平行力平衡时，三力作用线必汇交于一点 |
| 作用与反作用公理 | 两物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个物体上 | 这是画受力图时区分“受力体”与“施力体”的依据 |
| 刚化公理 | 变形体在某一力系作用下平衡，若将其视为刚体，平衡仍成立 | 把变形体问题转化为刚体问题处理 |
易错提醒
二力平衡公理中的两个力作用在同一物体上，是一对平衡力；作用与反作用力分别作用在两个不同物体上，永远不能相互抵消。这是初学者最容易混淆的一处。
三、约束与约束反力
对物体运动起限制作用的其他物体称为约束。约束作用于被约束物体上的力称为约束反力（简称反力），其方向总是与该约束所能限制的运动方向相反。使物体产生运动趋势的力称为主动力（如重力、切削力）。
| 约束类型 | 反力特点 | 常见实例 |
|---|---|---|
| 柔索约束 | 只能受拉，反力沿柔索背离物体（拉力） | 钢丝绳、传动带、链条 |
| 光滑接触面约束 | 反力沿接触面公法线指向被约束物体（压力） | 导轨、支承面、啮合齿面 |
| 固定铰链约束 | 反力大小方向未知，用两个正交分力 Fx、Fy 表示 | 铰链支座、向心轴承 |
| 活动铰链（滚子）支座 | 只能提供垂直于支承面的法向反力，一个未知量 | 桥梁一端支座、滚动轴承 |
| 固定端约束 | 既限制移动又限制转动，一般为两个正交反力 + 一个反力偶 | 悬臂梁的固定端、焊接端 |
| 二力杆约束 | 反力沿两铰点连线，方向可拉可压 | 桁架杆件、拉杆 |
四、受力图的画法
- 明确研究对象，单独画出它的简图（解除约束，取分离体）。
- 先画主动力：重力、外加载荷等，方向、作用点按实际画。
- 再画约束反力：按约束类型确定方向，未知力用分力或假定方向表示。
- 检查：每个力都要能说出“谁施的”；不要画研究对象对别人的力；不要多画、漏画。
口诀
“一取（分离体）二主（主动力）三反（约束反力）四检查”。画完后逐一核对：力的个数与约束的未知量个数是否对应。
1-2 平面汇交力系 重点
一、什么是平面汇交力系
各力作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。工程中的吊钩、铰链节点、简单桁架节点，都可简化为平面汇交力系。
二、合成的几何法——力多边形法则
连续应用力的平行四边形公理（或三角形法则），把各力首尾相接，从第一个力的起点指向最后一个力的终点的有向线段，即为合力。合力的大小和方向与各力相加的顺序无关，但合力的作用线必须通过汇交点。
三、合成的解析法——投影法
建立直角坐标系，把每个力投影到 x、y 轴上，分别求代数和，再合成。
FR = √(FRx² + FRy²) tanθ = |FRy| / |FRx|θ 为合力与 x 轴的夹角，合力指向由 Fx、Fy 的正负确定
投影的符号
力与坐标轴正向夹角为锐角时投影为正，钝角时为负。实际计算中直接用“力×cos夹角”并带正负号，比记公式更可靠。
四、平面汇交力系的平衡
几何条件：力多边形自行封闭（合力为零）。解析条件：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
解题步骤
① 取研究对象（含待求未知力的节点或物体）；② 画受力图；③ 建坐标系（尽量使未知力与坐标轴重合，减少分解）；④ 列 ΣFx=0、ΣFy=0；⑤ 解方程，负号表示实际方向与假设相反。
1-3 力矩和力偶 重点
一、力对点之矩
力使物体绕某点转动效果的度量，称为力对该点之矩，该点称为矩心，矩心到力作用线的垂直距离 d 称为力臂。
- 当力的作用线通过矩心时，d = 0，力矩为零。
- 力沿作用线移动，力臂不变，力矩不变（力矩的可传性）。
- 力矩是代数量，有正负；而力是矢量，两者不可混淆。
二、合力矩定理
平面力系的合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。
三、力偶与力偶矩
大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的两个力组成的力系，称为力偶。力偶只能使物体转动，不能使物体移动。
| 力偶的性质 | 说明 |
|---|---|
| 力偶不能用一个力等效替换 | 力偶的合力为零，但仍有转动效应，因此不能与一个力平衡，只能用力偶来平衡 |
| 力偶对任一点之矩恒等于力偶矩 | 与矩心位置无关，这是力偶与力矩最本质的区别 |
| 力偶的等效性 | 在同一平面内，力偶矩大小相等、转向相同的两个力偶等效，可任意移转、改变力与力偶臂的大小 |
| 平面力偶系的合成 | 合力偶矩等于各力偶矩的代数和：M = ΣMi |
常见错误
① 把力偶当成“两个力”分别去列投影方程，结果 ΣFx=0、ΣFy=0 自动满足，却漏掉了转动平衡；② 认为力偶的作用效果与矩心有关。正确做法：力偶只进力矩方程 ΣM=0。
四、平面力偶系的平衡
1-4 平面任意力系 选学
一、力的平移定理
作用在刚体上 A 点的力 F，可以平行移到任一点 B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力 F 对 B 点之矩。
二、力系的简化
把各力全部平移到简化中心 O，得到一个主矢 FR′ 和一个主矩 MO：
| 简化结果 | 结论 |
|---|---|
| FR′ = 0，MO = 0 | 力系平衡 |
| FR′ = 0，MO ≠ 0 | 合成为一个力偶 |
| FR′ ≠ 0，MO = 0 | 合成为一个合力，作用线过简化中心 |
| FR′ ≠ 0，MO ≠ 0 | 合成为一个合力，作用线距简化中心 d = |MO| / FR′ |
三、平面任意力系的平衡方程
其他形式：二力矩式（ΣMA=0、ΣMB=0、ΣFx=0，A、B 连线不得垂直于 x 轴）；三力矩式（ΣMA=ΣMB=ΣMC=0，A、B、C 三点不得共线）。
四、支座反力计算示例
简支梁 AB，跨度 l，A 端为固定铰链支座，B 端为活动铰链支座，梁上作用集中力 F（距 A 端 a）与均布载荷 q（全长）。求支座反力。
- 取梁为研究对象，画受力图：A 处 FAx、FAy，B 处 FB（竖直向上），主动力 F 与 ql（作用于跨中）。
- ΣFx = 0 → FAx = 0。
- ΣMA = 0 → FB·l − F·a − ql·(l/2) = 0 → FB = (Fa + ql²/2) / l。
- ΣFy = 0 → FAy = F + ql − FB。
取值技巧
列力矩方程时，把矩心选在未知力最多的交点（如 A 支座），可让这些未知力力矩为零，一个方程直接解出一个未知量，避免联立。